Ile trwa typowa gra w węże i drabiny? Jak dobrać liczbę i rozstawienie węży i drabin? Odpowiedzmy na te pytania przy pomocy symulacji Monte Carlo.
Załóżmy najpierw, że na planszy nie ma żadnych węży ani drabin i grają dwie osoby. Rzucamy na przemian kostką i kto pierwszy stanie na polu nr 100, ten wygrywa (załóżmy, że nie trzeba stanąć dokładnie na tym polu). Piszemy prosty program w swoim ulubionym języku programowania: gracz A losuje liczbę z przedziału 1-6 i zmienia pozycję, potem gracz B i tak dalej. W końcu maksimum z tych pozycji będzie co najmniej równe 100 i gra się skończy — a my sprawdzimy, ile ruchów (rzutów) wykonał wygrywający gracz.
Zagrałem 100 tysięcy razy. Poniżej rozkład liczby ruchów.
Średnio potrzeba ich około 28, aby wygrać. Jest to logiczne, bo średnio przesuwamy się o 3,5 pola. Z prostych obliczeń wynika, że w 29 ruchu powinniśmy przekroczyć pole nr 100.
Czemu nie 28? Bo te „logiczne obliczenia” są zbyt proste. Po pierwsze, wystarczy, że którykolwiek z graczy przekroczy 100, więc mamy więcej okazji do ukończenia. Po drugie, jest pewien problem z końcówką. Jeśli stoimy np. na polu 98, to istnieje jakościowa różnica między wyrzuceniem 1 i 2 — i to trzeba uwzględnić w obliczeniach. Dlatego ostatecznie średnia (wartość oczekiwana) jest mniejsza niż 29.
Spójrzmy na inne statystyki. Minimalna liczba ruchów, jaką otrzymałem, to 20. W rzeczywistości da się wygrać w 17 ruchach, wyrzucając same szóstki, ale jest to na tyle nieprawdopodobne, że 100 tysięcy gier to za mało, żeby się wydarzyło. Zauważmy też, że maksymalna liczba ruchów to 100 (za każdym razem wyrzucamy jeden), ale jest to ekstremalnie nieprawdopodobne. Po pierwsze, dwóch graczy musiałoby stale wyrzucać jeden (w przypadku najkrótszej gry wystarczy, że jeden z nich będzie miał szóstki). Po drugie, wyrzucanie jedynek zwiększa liczbę potrzebnych ruchów!
Czas gry
Zamieńmy liczbę ruchów na czas. Załóżmy, że jeden ruch (wraz z ruchem przeciwnika) trwa średnio 15 sekund. Ostatni ruch będzie trwał tyle, jeśli wygra drugi gracz, ale połowę tego czasu, jeśli wygra pierwszy. Oczywiście rozkład czasów będzie praktycznie taki sam jak dla ruchów (co do kształtu), ale wartości staną się łatwiejsze w interpretacji.
Gra trwa średnio 7 minut. Bardziej interesujące jest jednak dla mnie, ile trwają typowe gry — i tę typowość chcę tu rozumieć szeroko, jako przedział od pierwszego do dziewiątego decylu. Wynosi on od 6 do 7,5 minut. Czyli 10% pojedynków jest krótszych niż 6 minut, 10% dłuższych niż 7,5 minut, a większość (80%) zawiera się w podanym przedziale.
Zauważmy, że ten przedział jest bardzo wąski. Czasy trwania takiej (bardzo nudnej) gry cechują się niewielkim rozrzutem.
Klasyczne węże i drabiny
Rozstawmy teraz węże i drabiny tak, jak na planszy ze zdjęcia. Jeśli trafimy na drabinę, wchodzimy na nią, a jeśli na głowę węża, zjeżdżamy do pola z ogonem. Czas trwania gry z jednej strony może się wydłużyć, jeśli będziemy trafiać na węże, a z drugiej strony skrócić, jeśli będziemy wchodzić po drabinach.
Od strony technicznej, o ile w poprzednim przykładzie mniej więcej dało się policzyć na palcach, ile powinny trwać pojedynki, teraz jest to trudniejsze (choć możliwe, na przykład korzystając z łańcuchów Markowa). W symulacjach Monte Carlo zmienia się niewiele: wystarczy uwzględnić, że po stanięciu na niektóre pola zmienia się pozycja.
Poniżej rozkład czasów gry, jaki otrzymałem. Uciąłem go z prawej strony na 30 minutach — w 100 tysiącach symulacji zdarzyło się pięć tak długich gier.
Tym razem rozkład jest prawostronnie skośny. Typowe gry wciąż trwają dość krótko, od 4 do 10 minut. Rozrzut jest znacznie większy niż poprzednio.
Wredne węże
Dołóżmy teraz dwa wredne węże! Z pól 98 i 99 zjeżdżamy na 1. Poniżej rozkład czasów, tym razem ucięty na 60 minutach (było 57 przypadków powyżej).
Typowe gry trwają od 4 do 21 minut. Możemy policzyć prawdopodobieństwo, że czas trwania będzie dłuższy niż pół godziny: wynosi ono 3%. Innymi słowy, należy oczekiwać, że mniej więcej raz na 30 gier taka sytuacja zajdzie. W klasycznych wężach i drabinach jest to bardzo mało prawdopodobne.
Poniżej wszystkie trzy rozkłady na wykresach gęstości (ucięte na 30 minutach).
Przy pomocy zaprezentowanego tu podejścia można testować różne ustawienia węży i drabin, tak żeby wybrać optymalne z punktu widzenia rozkładu czasu gry. Oczywiście to, jaki rozkład będzie „optymalny”, jest kwestią subiektywną, ale jeśli to ustalimy, możemy go stosunkowo łatwo osiągnąć.
Dodajmy, że jest to łatwe dlatego, że węże i drabiny są grą czysto losową. Nie ma w nich żadnej decyzji, którą możemy podjąć (poza rzuceniem planszą i przerwaniem gry). To nie znaczy, że nie można użyć symulacji Monte Carlo w grach, w których takie decyzje (wpływające na czas trwania) można podjąć. Trzeba je jednak odpowiednio zamodelować: na przykład z pewnym prawdopodobieństwem gracz podejmie decyzję A albo B.
Jeśli zainteresował Cię temat symulacji Monte Carlo, być może spodobają Ci się podobne artykuły o grze Eurobiznes lub karcianej wojnie.
