Chciałbym dowiedzieć się, ilu Polaków kiedykolwiek strzelało z broni czarnoprochowej. Pytam o to tysiąc losowo napotkanych osób i już, mam oszacowanie proporcji. Że to nie będzie dokładne? Oczywiście, ale tę dokładność również można oszacować (zrobię to zaraz). Natomiast problem z takim pytaniem jest znacznie większy.
Dokładność
Załóżmy, że 1% Polaków strzelało kiedykolwiek z broni czarnoprochowej. Jeśli spytałbym 100 osób, dokładność oszacowania (liczona jako błąd standardowy) wynosi 1%, co jest raczej nieakceptowalne. Bo taka dokładność oznacza, że zamiast rzeczywistej proporcji (1%) mogę otrzymać 2%, a nawet 3% — i nie powinienem być tym zbytnio zdziwiony (to „zdziwienie” można przedstawić formalnie przy pomocy tzw. przedziału ufności).
Ale gorzej: skoro tylko 1 osoba na 100 strzelała, a ja pytam 100 osób, to nie trzeba wielkiej matematyki, żeby zauważyć, że w mojej próbie żadna z takich osób może się nie trafić. A wtedy szacunkową odpowiedzią na tytułowe pytanie będzie „nikt”.
Prawda
No dobrze, ale jeśli spytam 1000 osób, wtedy dokładność wyniesie już 0,3% i sprawa wygląda lepiej. Problem w tym, że wszystkie to obliczenia zakładają, że ludzie powiedzą prawdę. Pokazywałem już, jak można sobie z tym poradzić (https://danetyka.com/szacowanie-trudnych-proporcji), a teraz zobaczymy, jakie będą konsekwencje, jeśli nic z tym nie zrobimy. Co więcej, nie ma znaczenia, jak dużo osób zbadamy — możemy nawet przyjąć, że wszystkich.
Co nam wyjdzie z badań?
Załóżmy, że 1 na 10 osób nie mówi prawdy, nieważne, czy strzelała z broni, czy nie. Czyli mamy pewną symetrię: co dziesiąty strzelający odpowie, że nie strzelał (bo zapomniał; bo nie chce być wpisany na jakąś „listę” itd.), oraz co dziesiąty niestrzelający odpowie, że strzelał (bo „co to nie on”; bo nie wie, co znaczy „czarnoprochowa” itd.).
W takich wypadkach może się wydawać, że wszystko będzie w porządku. Badanie jest obarczone błędem, ale on się zniesie. Jeśli mierzę wzrost miarą, która losowo zawyża o 5 cm, ale z takim samym prawdopodobieństwem zaniża o 5 cm, średni wzrost będzie wiarygodnie oszacowany (jedynie mniej dokładnie). Czy tak będzie w naszej sytuacji?
Policzmy. Mamy 1% rzeczywiście strzelających, ale z tego 1/10 odpowie, że nie strzelała, czyli dostajemy 9/10 * 1% = 0,9% strzelających. Na razie dobrze, niewielka różnica. Ale do tego musimy dodać 1/10 tych, którzy nie strzelali, ale niestety odpowiedzieli inaczej: 1/10 * 99% = 9,9%. Czyli w sumie mamy aż 10,8% strzelających! To prawie 11 razy więcej niż w rzeczywistości.
Wyniki fałszywie dodatnie
Spójrzmy na ten problem ogólniej. Nazwijmy jeden z wyników „dodatnim”, drugi „ujemnym”. Ponieważ niektórzy nie powiedzą prawdy, w praktyce otrzymamy cztery rodzaje odpowiedzi: prawdziwie dodatnia, prawdziwie ujemna, fałszywie dodatnia i fałszywie ujemna. W naszym przypadku, traktując strzelanie jako wynik dodatni, dostaniemy więcej odpowiedzi fałszywie dodatnich niż fałszywie ujemnych. A przez to oszacowana proporcja będzie zawyżona. Można wziąć na to poprawkę, trzeba jednak wiedzieć, jaka część osób skłamie. I swoją drogą, może rzeczywiście jesteśmy w stanie to oszacować na podstawie innych badań. Co istotne (i ciekawe), nie musimy wiedzieć, czy konkretna odpowiedź jest prawdziwa, wystarczy proporcja kłamiących.
