Prawdopodobieństwo wyrzucenia 100 orłów z rzędu wynosi 2^(-100), a to jest mniej, niż 10^(-30). Czyli ile?
Tyle, że gdyby każdy żyjący do tej pory człowiek w całym swoim życiu nic więcej nie robił, tylko bez przerwy rzucał monetami, szansa, że choć jeden z nich taką serię uzyska, wciąż jest prawie zerowe.
Wytłumaczę się z tego. Załóżmy, że na Ziemi żyło do tej pory ok. 100 mld ludzi. Co prawda pierwsze monety pojawiły się później, ale zignorujmy to — szacujmy grubo. Ilu z tych ludzi mogło rzucić 100 razy monetą w ciągu całego życia? Myślę, że niewielki ułamek, ale załóżmy, że każdy spróbował raz (oczywiście niektórzy mogli kilka razy, ale większość pewnie nawet nie miała monety w ręku).
Mieliśmy zatem ok. 10^11 okazji, a to jest NIC w porównaniu do 10^(-30). Prawdopodobieństwo, że choć jednej osobie się udało, jest rzędu 10^(-19), a to jest praktycznie zero.
To teraz załóżmy, że każdy żył 100 lat i w całym życiu nic więcej nie robił, tylko spał po 8 godzin i rzucał monetą. Powiedzmy, że potrzeba 100 sekund na rzucenie 100 razy. Wychodzi mi, że każdy człowiek miał ok. 20 mln okazji, by rzucić 100 razy monetą. Mnożąc przez liczbę ludzi, mamy ok. 10^18 okazji. Wciąż zdecydowanie za mało.
Tak zwany „wnikliwy czytelnik” zauważy, że jak na razie traktuję te kolejne 100 rzutów jako niezależne „paczki”, Tzn. jeśli rzucę 200 razy, mam dwie setki. Ale przecież możemy 100 pierwszych rzutów potraktować jako pierwszą setkę, a rzuty od drugiego do sto pierwszego jako drugą setkę. Wtedy 200 rzutów daje 101 możliwości. Jeśli rzutów jest bardzo dużo, w przybliżeniu daje to tak dużo możliwości, jak rzutów — a w takim razie nie co 100 sekund mamy okazję wyrzucić 100 orłów pod rząd, ale co 1 sekundę.
Ostatecznie wychodzi 10^20 okazji. Dalej marnie w porównaniu do 10^(-30). Prawdopodobieństwo, że coś takiego wydarzyło się choć raz, to mniej więcej iloczyn tych dwóch liczb (można to policzyć dokładnie, bazując na tzw. rozkładzie dwumianowym). Dlatego niewyrzucenie przez nikogo 100 orłów z rzędu uznaję za FAKT.
O faktach
Słucham? Fakt? Przecież coś takiego mogło się wydarzyć!
Jasne. Nie twierdzę, że nie mogło się wydarzyć, ale że się nie wydarzyło. Jest to bardzo konkretne zdanie o przeszłości i albo mam rację, albo nie mam. Albo to prawda, albo nie.
W razie gdyby ktoś uważał, że te prawdopodobieństwa, które liczę, nie są aż tak małe, żeby uznać coś za fakt, to pociągnijmy to w jeszcze bardziej ekstremalnym kierunku: zamiast 100 rzutów weźmy 1000. A może miliard? Że fizycznie nie byłbym w stanie tyle razy rzucić, więc prawdopodobieństwo jest już zero? Jak możemy być tego pewni na 100%? Albo inaczej: w którym momencie prawdopodobieństwo z niezerowego przechodzi dokładnie w zero?
Oczywiście są zdarzenia, które nie mogły się wydarzyć. Np. niemożliwe jest, żeby w 10 rzutach wypadło 11 orłów. Ale to wykluczamy już na poziomie języka/logiki (wynika z definicji „10 rzutów”). Jest to zupełnie nieinteresujące zdanie o świecie.
Weźmy teraz jakiś FAKT historyczny, np. że Kazimierz Wielki był królem Polski albo że w 1410 roku była bitwa pod Grunwaldem. Jak mnie przekonacie, że są to fakty, a moje zdanie z monetą nie?
Wydaje mi się, że „bunt” przeciw tego typu zdaniom, jak to z monetą, może wynikać z poniższych rzeczy:
1. Gdy słyszymy zdania mające związek z matematyką, włącza nam się „matematyzacja”, myślenie modelami, idealizacja.
2. Nie jesteśmy w stanie określić prawdopodobieństwa prawdziwości historycznych „faktów”; zaokrąglamy je do 1.
3. Nie ufamy przedstawionym przeze mnie obliczeniom i temu, że 10^(-30) to naprawdę ekstremalnie mała liczba.
Punkty 2 i 3 są dla mnie ok, natomiast punkt 1 prowadzi na manowce (na pewno językowe).
W tym miejscu dodam, że nie chcę przez to powiedzieć, że nie można być w życiu niczego pewnym, ale przeciwnie: WARTO być. I ja na przykład jestem pewny tego, że nikt nie wyrzucił 100 orłów z rzędu uczciwą monetą. Bardziej niż tego, że w piątek padał deszcz.
O przyszłych faktach
Zastanówmy się nad zdaniem z poniższej grafiki.
Myślę, że nie jest ono kontrowersyjne. Ponieważ tyczy się przyszłości, jest jasne, że to prognoza. Na dodatek szybko zostanie zweryfikowana.
Ciężko byłoby nam uznać to zdanie za fakt już TERAZ.
Powiedzmy jednak coś takiego: kombinacja 3, 10, 17, 29, 34, 42 nie została wylosowana w POPRZEDNIM losowaniu. Tym razem traktowalibyśmy to jako fakt, w sensie, że założylibyśmy, że skoro to napisałem, sprawdziłem wcześniej. I ogólnie to słuszne podejście, tzn. należy oczekiwać, że zanim ktoś coś takiego napisze, jakoś to zweryfikuje.
Mimo to byłem tego praktycznie pewny, zanim sprawdziłem. Prawdopodobieństwo, że miałem rację, wynosiło ok. 1 na 14 mln. Ponieważ jednak łatwo je jeszcze radykalnie zmniejszyć (sprawdzając), wydaje się, że warto to zrobić. Pytanie, czy zredukujemy je wtedy do zera?
Weźmy inne zdanie: kombinacja 3, 10, 17, 29, 34, 42 NIGDY nie została wylosowana. Tego zdania też jestem dość pewny, choć znacznie mniej, niż poprzedniego. Jak do tej pory było ok. 7 tys. losowań w polskim lotto, nigdy nie wylosowano tych samych numerów, zatem prawdopodobieństwo, że miałem rację przed sprawdzeniem, wynosi ok. 0,0005 (7 tys. dzielone przez 14 mln).
Znów możemy to zweryfikować… choć jest to znacznie trudniejsze. Po pierwsze, trzeba znaleźć dane. Na szczęście da się to zrobić. Chyba… Mam nadzieję, że są wiarygodne. Przeszukuję je i nie znajduję takiej kombinacji. Czyli nie została wylosowana… Hm, a zobaczmy wynik z 24 marca 1957 roku: 3, 10, 27, 29, 34, 42. Prawie to samo, jedynie zamiast 17 jest 27. Jak sprawdzić, czy ktoś w 1957 roku nie pomylił się i zamiast „1” podał „2”?
Czego jesteś bardziej pewna/pewny: tego, że za kilka godzin nie zostanie wylosowana kombinacja 3, 10, 17, 29, 34, 42, czy tego, że nigdy nie została wylosowana?
Dla mnie odpowiedź wcale nie jest jasna. Mimo że jedno z tych zdań tyczy się PRZYSZŁOŚCI, a drugie weryfikowalnej przeszłości — i na dodatek udało nam się (czyżby?) przeprowadzić tę weryfikację.
