Spróbujmy. Zapiszmy szukaną sumę w taki sposób:
0 + 1 – 1 + 2 – 2 + 3 – 3 + …
Wygląda na to, że się uda: 1 zeruje się z -1, 2 z -2 i tak dalej, czyli
0 + 0 + 0 + 0 + … = 0.
Zauważmy, że dodając w ten sposób, postawiliśmy nawiasy w konkretnych miejscach:
0 + (1-1) + (2-2) + (3-3) + …
Wolno nam? Jasne! Przecież kolejność dodawania nie ma znaczenia. To postawmy nawiasy w innych miejscach:
(0+1) + (-1+2) + (-2+3) + (-3+4) + …
Tym razem dostajemy 1 + 1 + 1 + 1 + …, a to nijak nie chce się wyzerować.
W końcu trochę subiektywizmu w matematyce! Jeden będzie liczył tak, drugi inaczej — i wszyscy będą mieli rację. Niestety, matematycy autorytatywnie odrzucili ten romantyzm i stwierdzili, że w takim razie taka suma nie istnieje.
Dodam (cały czas dodaję), że suma 1 – 1 + 1 – 1 + … również nie istnieje. Dodając od lewej do prawej, dostajemy naprzemiennie 0 lub 1. Da się to wyjaśnić tylko w jeden sposób: 0=1, co jest dowodem, że świat powstał z niczego.
Komentarz
Dla mających wątpliwości, parę dodatkowych wyjaśnień, już bez żadnych śmieszków.
1. Zapis „…” na końcu oznacza, że mamy do czynienia z nieskończoną sumą, więc musimy sobie wyobrazić, że wypisaliśmy WSZYSTKIE liczby, a nie tylko te podane. Bezpieczniej stosować sigmę, choć to mniej czytelne, gdy ktoś nie jest z tym symbolem obeznany (https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_(matematyka)).
2. Zarówno suma liczb całkowitych, jak i 1 – 1 + 1 – 1 + … NIE ISTNIEJĄ. Szeregi definiujemy jako granicę sum częściowych:
S1 = 1
S2 = 1-1
S3 = 1-1+1
…
tzn. liczymy granicę ciągu Sn. I ona nie istnieje.
3. Te przykłady z kolejnością sumowania pokazują problemy z tego typu szeregami i w pewien sposób uzasadniają przyjęcie takiej a nie innej definicji.
4. Jeśli suma szeregu istnieje, możemy wstawiać nawiasy dowolnie, zawsze otrzymując ten sam wynik (łączność dodawania jest zachowana dla nieskończonych sum).
5. Nad takimi wstrętnymi szeregami głowili się najlepsi matematycy w historii, gdy jeszcze nie do końca rozumiano pojęcie granicy i podana przeze mnie definicja szeregu nie istniała. Parę słów o tym w tej książeczce, strona 15.
