Wyobraź sobie, że jedziesz samochodem. Różne nieszczęścia mogą się wydarzyć, ale ograniczmy się do dwóch: 1) kierowca z naprzeciwka nagle w Ciebie wjeżdża, 2) kończy się paliwo. Załóżmy, że możesz martwić się tylko jednym zdarzeniem. Którym?
Jeden doradca powie, żeby martwić się nadjeżdżającym samochodem, bo potencjalna strata jest ogromna. A jak skończy się paliwo, to cóż, po prostu dalej nie pojedziesz.
Drugi doradca powie, że nie warto martwić się nadjeżdżającym samochodem, bo takie rzeczy bardzo rzadko się zdarzają. Po co ktoś miałby nagle zmienić pas i w Ciebie wjechać? Martw się stanem paliwa, bo następna stacja może być nieczynna, a do kolejnej jest 100 km.
(Jeszcze jest trzeci doradca, który powie, żeby niczym się nie martwić, co logicznie wynika z rzekomej prawdy, że nie ma tego złego, co by na dobre nie wyszło).
Jednym z narzędzi, które może nam pomóc rozstrzygnąć, czym warto się martwić, jest wartość oczekiwana. Powiedzmy, że pierwsze zdarzenie będzie nas kosztować X1, a prawdopodobieństwo jego zajścia wynosi P1. Możemy pomnożyć stratę przez to prawdopodobieństwo, czyli X1*P1, interpretując taki iloczyn jako „oczekiwaną stratę”. Następnie porównujemy ją z drugim iloczynem: X2*P2.
Zwykle takie obliczenia robimy intuicyjnie. Porównajmy prawdopodobieństwo jutrzejszych opadów wynoszące 10% z prawdopodobieństwem śmierci w wyniku operacji 10%. Myślę, że to pierwsze określimy jako niskie, a drugie jako wysokie — bo „mnożymy” przez skutki.
(Oczywiście jeśli chcielibyśmy być precyzyjni, takie podejście wymaga podania kosztów w tych samych jednostkach i oszacowania prawdopodobieństw, a to nierzadko jest bardzo trudne. I subiektywne).
Wartość oczekiwana przydaje się, gdy szacujemy, ile zyskamy/stracimy na grach losowych. Jeśli zaproponuję Ci grę: rzućmy monetą i jeśli wypadnie orzeł, płacę 1 zł, a jeśli reszka, dajesz mi 5 zł — najpewniej nie wejdziesz w to, bo wartość oczekiwana wynosi -2 zł (1*0,5-5*0,5). Innymi słowy, grając w taką grę, średnio tyle będziemy tracić w każdej rundzie. Swoją drogą, tyle samo tracimy w lotto, choć tego „nie czuć”, bo prawdopodobieństwa są ekstremalne.
Wartość oczekiwana ma wiele wspólnego ze średnią ważoną. I można spojrzeć na to ważenie dwojako: traktując jako wagę albo prawdopodobieństwo, albo stratę/zysk. Ważymy zyski szansą wystąpienia, a z drugiej strony nie odrzucamy zdarzeń o małym prawdopodobieństwie, jeśli wiążą się z ogromną stratą.
Warto dodać, że nawet jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest niewielkie, to jeśli codziennie się na nie wystawiamy, to prawdopodobieństwo, że wydarzy się choć raz, jest już znacznie większe. A czasem wystarczy tylko raz — jak śmierć.
Obliczenia się komplikują, jeśli tę śmierć wiążemy z nieskończoną stratą. Wtedy mnożąc przez coś niezerowego, wciąż otrzymamy nieskończoność. Czym to zrównoważyć?
A może nie tylko obliczenia się komplikują, ale nasze życie.
