Czym są przedziały ufności? Zacznijmy od Adama i Ewy.
Adam otrzymał zadanie od szefa: sprawdzić, czy większość klientów jest zadowolona z usług firmy i poleciłaby ją komuś innemu. Firmie bardzo zależy, by w materiałach reklamowych użyć słowa „większość”. Adam dostał numery telefonów do stu klientów i jego zadaniem było zadzwonić do nich i otrzymać odpowiedź (tak/nie).
Mamy to!
Pomińmy problemy (ogromne!) z uzyskaniem tej informacji — załóżmy, że każdy z pytanych klientów szczerze odpowiedział. Podekscytowany Adam wpada na cotygodniowe spotkanie firmowe i woła: „mamy to!”. 55% klientów odpowiedziało twierdząco („większość”). Szef zaciera ręce, ale nagle drzwi otwiera Ewa, która (na wszelki wypadek) otrzymała to samo zadanie, choć inną listę klientów. Niestety, nie słychać entuzjazmu w jej głosie: tylko 47% poleciłoby firmę.
W pierwszym odruchu szef chce zwolnić Ewę, na szczęście udaje mu się ochłonąć. Sprawdza protokoły i wszystko się zgadza. Któryś z pracowników zauważa, że można by uśrednić oba szacunki i otrzymamy proporcję 51%, a to przecież wystarczy. Niestety, jakiś sceptyk z końca sali zadaje pytanie: a co by było, gdyby spytać innych stu klientów?
Inne dane, inna proporcja
No właśnie, co by było… Może tym razem uzyskalibyśmy proporcję 40% i wnioski byłyby jeszcze trudniejsze do zaakceptowania dla zarządu? To może stwórzmy takie listy stu i zaprzęgnijmy wszystkich pracowników w firmie, by do nich dzwonić! Tyle że nie o to tu chodzi. My naprawdę chcemy zbadać tylko sto osób, bo na więcej nie mamy czasu i pieniędzy. I musimy w jakiś sposób „wyobrazić” sobie, jakie inne proporcje — poza tą, którą rzeczywiście otrzymaliśmy — moglibyśmy dostać.
Przy pomocy przedziałów ufności próbujemy to sobie wyobrazić (z pewnym ważnym zastrzeżeniem, o którym zaraz).
Jak to „wyobrażenie” ma działać? Załóżmy, że w rzeczywistości dokładnie połowa klientów poleciłaby usługi naszej firmy. Jeśli zbadamy tylko stu losowo wybranych, możemy otrzymać proporcję 45, 50 czy 55%. Możliwe jest też 0 czy 100%, ale takie rzadkie sytuacje odrzucamy. Ostatecznie otrzymamy pewien przedział proporcji, które mogą się trafić i nie powinniśmy być nimi zdziwieni. Dla stu obserwacji będzie to mniej więcej (40%, 60%).
Przedział ufności w praktyce
Problem w tym, że w praktyce mamy tylko jedną próbę, a z niej „złą” (niezgodną z prawdą) proporcję, np. 55%, jak u Adama. Nie jesteśmy w stanie stworzyć takiego przedziału jak wyżej, bo jest on zorientowany wokół rzeczywistej proporcji, której nie znamy. Okazuje się jednak, że możemy dość dobrze oszacować DŁUGOŚĆ tego przedziału — i otrzymamy ok. (45%, 65%). Czyli środek jest w złym miejscu, ale szerokość powinna być ok. I mamy nadzieję, że zawiera on właściwą proporcję.
Co więcej, procedura wyznaczania przedziałów ufności jest taka, że zwykle (np. w 95% przypadków) będą one zawierać rzeczywisty parametr.
Czyli w naszej sytuacji, ponieważ uzyskany przedział zawiera 50% (i mniej), to niestety dla szefa, nie można powiedzieć, że większość klientów poleciłaby firmę. Takie proporcje „nie gryzą się” z zebranymi przez Adama danymi (proporcja 55%). Rzeczywista proporcja poniżej 50% również może wygenerować takie dane, jakie zebrał Adam.
Estymacja punktowa, przedziałowa i poziom ufności
Problem Adama i Ewy można podsumować tak, że zamiast szacować (estymować) punktowo, powinni zrobić to przedziałowo. Ewentualnie mogliby zweryfikować hipotezę, że proporcja jest różna od 50%, przy pomocy odpowiedniego testu. Jest to równoważne sprawdzaniu, czy 50% zawiera się w przedziale ufności. Tutaj można też postawić hipotezę jednostronną (proporcja większa od 50%), wtedy równoważny byłby jednostronny przedział ufności.
Napisałem wcześniej: „możliwe jest też 0 czy 100%, ale takie rzadkie sytuacje odrzucamy”. Przy pomocy tzw. poziomu ufności sterujemy, ile takich rzadkich przypadków nie chcemy w przedziale ufności. Zwykle jest on ustalany na 95%, czyli pomijamy wtedy 5% skrajnych wartości, najczęściej symetrycznie (2,5% największych i 2,5% najmniejszych).
A jak zinterpretować konkretny przedział ufności, na dodatek jeśli chcemy to zrobić poprawnie, żeby nikt się nie przyczepił? Jest to trudniejsze, niż się wydaje.
