Blog

30 marca 1994 roku w lotto wygrało 80 osób. Możemy wyobrazić sobie, jakież to musiało być nieszczęście dla nich. I to nie jest śmieszne. Nie ma symetrii w odczuwaniu strat i zysków: strata boli bardziej. Jednego dnia jesteś milionerem, a drugiego „tracisz” prawie milion. A przecież dla wielu osób ta historia właśnie tak wyglądała.

Powtarzane są anegdoty, jak to niektórzy wykupywali całe sklepiki: wódka i kiełbasa dla każdego z wioski. No i cóż, następnego dnia okazywało się, że na nic więcej nie starczyło — choć kto pojadł i popił, to jego.

Pojawiło się oczywiście wiele teorii spiskowych na ten temat. Czy takie coś jest w ogóle możliwe? To na pewno — przecież się zdarzyło. Pytanie brzmi, jak bardzo jest prawdopodobne przy pewnych założeniach.

Dobre powody i niepotrzebne powody

Warto zacząć od tego, że powinien istnieć dobry powód, że taka sytuacja miała miejsce. Stwierdzenie, że ach, przecież wyniki są losowe i czasem nietypowe zdarzenia będą mieć miejsce — to żadne wyjaśnienie. Wspominam o tym, bo akurat nie zawsze taki powód musi być „dobry”. Jeśli rzucam wiele razy 10 monetami, to może się zdarzyć (powinno!), że wypadną same reszki i nie ma czego się w tym doszukiwać (oczywiście można powiedzieć, że to wielokrotne rzucanie jest tutaj tym „dobrym” powodem).

To co z tymi 80 wygranymi? Wyniki lotto są losowe, ale liczby, które ludzie stawiają, już nie. Jeśli skreślamy swoją datę urodzenia, to ponieważ nikt jeszcze nie urodził się 32 grudnia, pewne kombinacje będę pojawiać się rzadziej.

„Szczęśliwa” szóstka

Spójrzmy zatem na wylosowaną szóstkę: 11, 16, 23, 30, 35, 41. Nie widać tu żadnego ciągu arytmetycznego, ważnych lat z historii Polski itp.

W internecie krążą dwa wyjaśnienia. Pierwsze, że liczby układały się w graficzny wzór, a drugie, że w niektórych kolekturach do kuponów była dołączona instrukcja wypełniania, w której takie właśnie liczby były zaznaczone. I cóż, część osób mogła potraktować tę instrukcję zbyt dosłownie (choć z pewnością niektórzy mieli inne powody, może nawet sensowne).

Nie udało mi się znaleźć takiej instrukcji, za to poniżej kupon z interesującego nas okresu, z zaznaczoną szóstką (dziękuje Marcinowi Krzanickiemu za podesłanie).

Nie widać tu żadnego wzoru, natomiast iksy są rozmieszczone na tyle losowo (optycznie), że wiele osób mogło takie liczby skreślić po prostu. Ludzkie postrzeganie losowości jest dość ułomne i może się wydawać, że taki zestaw jak na kuponie jest bardziej losowy, niż na przykład liczby po kolei — a przez to bardziej prawdopodobne jest, że zostanie wylosowany.

Choć od razu dodajmy, że to nie obala hipotezy o instrukcji, bo taki zestaw dość dobrze by w niej wyglądał.

Losowania w Bułgarii

Tak naprawdę w tej opisanej sytuacji nie było niczego nadzwyczajnego — choć oczywiście dopiero, gdy się nad tym zastanowić. Przeanalizujmy teraz naprawdę ekstremalne zdarzenie. 6 września 2009 roku w bułgarskim lotto wylosowano dwa razy z rzędu te same liczby. Czy taka sytuacja może się zdarzyć? Jasne. Ale czy powinna nas zaskakiwać?

Najpierw kluczowa obserwacja. Ludzie wygrywają w lotto, tzn. udaje im się „przewidzieć” 6 liczb z 49. Dlaczego? Przecież prawdopodobieństwo wynosi 1 na 14 milionów? Dlatego, że gra mnóstwo osób.

Wyobraziłem sobie liczbę całkowitą od 1 do 100. Którą? Pewnie nie zgadniesz — chyba że możesz próbować wiele razy. Jeśli w lotto obstawisz wszystkie kombinacje, to oczywiście „wygrasz” (w cudzysłowie, bo wydasz ok. 42 mln zł). Jeśli każdy stawia raz, ale kolektywnie zostały wybrane wszystkie kombinacje, sytuacja jest taka sama.

Oczywiście Polacy nie dogadują się i każdy zakreśla, co chce. Wtedy nie mamy gwarancji, że ktoś wygra, natomiast można OCZEKIWAĆ, że przy 14 milionach kuponów jedna osoba trafi szóstkę (przy pewnych założeniach). Skoro czegoś oczekujemy, nie jest zaskakujące.

Można to wszystko podsumować tak: jeśli JA wygram w lotto, będzie to zaskakujące (1 na 14 mln!). Jeśli KTOŚ wygra, to nie (prawdopodobieństwo bliskie 1).

Prawdopodobieństwo

Ale wróćmy do wyjściowego pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa razy z rzędu zostaną wylosowane te same liczby? 1 na 14 mln. Bo w pierwszym losowaniu wypada cokolwiek, a w drugim konkretna kombinacja.

Czyli ekstremalnie mało… Ale trzeba uwzględnić liczbę okazji zaistnienia tej sytuacji! Załóżmy, że są dwa losowania w tygodniu od 50 lat, co daje ok. 5000 możliwości z rzędu. Prawdopodobieństwo, że choć raz taka możliwość się ziści, wynosi 0,036%.

Wciąż mało, ale przecież są inne loterie, w innych krajach. To nie było tak, że zaskoczyło nas, że taka sytuacja wydarzyła się akurat w Bułgarii, ale że W OGÓLE się wydarzyła. W takim razie musimy uwzględnić liczbę podobnych loterii, w których mogło to mieć miejsce. Nie mam danych, ale załóżmy, że średnio jest 100 takich — co daje 500 tys. okazji i szukane prawdopodobieństwo wynosi już 3,5%.

Z rzędu czy nie z rzędu?

Ale nie zatrzymujmy się, bo dobrze nam idzie. I teraz najciekawsza dla mnie rzecz, ale też najbardziej kontrowersyjna. Pytanie, czy jesteśmy zaskoczeni tym, że ta sytuacja miała miejsce Z RZĘDU, czy że w ogóle miała miejsce? Np. w losowaniach w tym samym miesiącu, ale niekoniecznie jedno po sobie?

Moim zdaniem jest ważne, że to było z rzędu, szczególnie jeśli chcemy porównać się z hipotezą o oszustwie lub błędzie maszyny (swoją drogą, takie porównania są łatwiejsze od tego, co próbujemy zrobić, czyli obliczenia pojedynczego prawdopodobieństwa). Natomiast jeśli ktoś sprostowałby, że to były jednak losowania w tym samym miesiącu, to pewnie machnęlibyśmy ręką i stwierdzili, że to i tak niemożliwe. I jeśli uwzględnimy takie przypadki miesięczne, szukane prawdopodobieństwo wynosi 22%.

Czyli mamy dowód, a jak wierzysz, że ktoś majstrował przy maszynie losującej, to jesteś głupcem? Niekoniecznie, bo te obliczenia nie wykluczają hipotezy o majstrowaniu…

Uzupełnienie

Co do ostatniego zdania, to rzecz rozbija się o prawdopodobieństwo a priori (wstępne), że mogło mieć miejsce takie „majstrowanie”. Moim zdaniem jest ono bardzo niskie, stąd osobiście nie wierzę w oszustwo. Szczególnie jeśli uwzględnimy fakt, że te liczby zostały wylosowane w różnej kolejności! Gdyby były w takiej samej, to dla mnie bardziej prawdopodobna byłaby hipoteza o „majstrowaniu”. Z drugiej strony, nie wiem, jak fizycznie można by to zrobić. To losowanie było pokazane w telewizji i prędzej bym uwierzył, że puszczono jeszcze raz to poprzednie.

Co do wartości oczekiwanej liczby wygranych, to nie wiem, ile jest kupowanych losów. Na dodatek nie są one niezależne (co pokazuje między innymi sytuacja z 80 wygranymi w polskim lotto), a to założenie jest potrzebne do obliczeń (tzn. jeśli chcemy skorzystać z prostego wzoru). Można powiedzieć, że jest ich wysyłanych na tyle dużo, że co jakiś czas ktoś wygrywa, a czasem jest kumulacja. Tak naprawdę na podstawie tych statystyk można próbować policzyć liczbę wysłanych kuponów („reverse engineering”). Ale oczywiście to wymaga przyjęcia założenia, które dla kogoś może być tezą 😉

Kącik matematyczny

Prawdopodobieństwa liczyłem z rozkładu dwumianowego, korzystając z własności P(X>=1) = 1 – P(X=0). W członie P(X=0) podnosimy prawdopodobieństwo bardzo bliskie 1 do dużych potęg. I w skrócie, całe te dywagacje można podsumować tak, że wraz ze wzrostem wykładnika potęgi, nieważne, jak bliskie 1 jest prawdopodobieństwo p, to p^n i tak dąży do zera.

Przy 14 mln niezależnych losów prawdopodobieństwo, że choć jedna osoba dobrze obstawi, wynosi 63% (napisałem, że jest bliskie 1). W przeciągu 50 lat było mniej niż 5000 losowań, bo dopiero od pewnego momentu zaczęto losować dwa razy w tygodniu. Ale są jeszcze wariacje w stylu lotto plus itp. Poza tym tu bardziej chodzi o rzędy wielkości.

Jeśli rozważamy przypadki, że w którejś loterii wypadają te same liczby, ale nieważne, w jakim okresie, to prawdopodobieństwo zajścia szukanego zdarzenia to praktycznie 100%. Co więcej, oczekiwana liczba takich sytuacji w przeciągu 50 lat to ok. 90! (przy moich założeniach). I rzeczywiście, są znane przypadki z innych krajów niż Bułgaria.