Blog

Pamiętam, jak na którymś ze zjazdów rodzinnych mój wujek, zapalony gracz Lotto, poprosił mnie, bym pomógł mu obstawić jakieś dobre liczby. W końcu do czegoś ta matematyka powinna się przydawać? Odpowiedziałem, że moim zdaniem 1, 2, 3, 4, 5, 6 to rozsądny wybór. Typową reakcją na taką poradę jest stwierdzenie, że to przecież niemożliwe, by wylosowały się akurat takie liczby. Stąd już krótka droga (jak mi się wydawało) do tego, by wytłumaczyć, że wylosowanie dowolnego innego zestawu jest prawie niemożliwe. A w takim razie nie warto tracić czasu i pieniędzy na Lotto. Okazało się jednak, że nie jest to takie proste. Spróbuję zatem wyjaśnić, dlaczego wylosowanie zestawu 1-6 jest tak samo prawdopodobne, jak jakiegokolwiek innego.

Prawdopodobieństwo

Zacznijmy od brutalnych prawdopodobieństw. W Lotto wybieramy kombinację 6 liczb z 49 możliwych. Wszystkich takich kombinacji jest około 14 milionów, więc szansa, że akurat zostanie wylosowany nasz zestaw, to jeden do 14 milionów. Jest to porównywalne z ryzykiem, że zginiemy w wypadku, idąc do kolektury (moje bardzo przybliżone oszacowanie na podstawie https://en.wikipedia.org/wiki/Micromort). Tak naprawdę podanie tej wartości powinno zakończyć dyskusję, ale zwykle tak się nie dzieje. Padają argumenty typu:

• Ale przecież ktoś jednak wygrywa?
• Może szansa jest mała, ale jednak jakaś jest.
• Kupon prawie nic nie kosztuje, a wygrana ogromna, więc tylko głupiec by nie spróbował.

Nie dziwią mnie takie uzasadnienia, bo prawdopodobieństwo wcale nie jest intuicyjne, szczególnie jeśli jest tak małe. Założę jednak, że porównanie do innego ekstremalnie rzadkiego zdarzenia wystarczy, gdyż chciałbym się w tym wpisie zająć innym problemem. Czemu kombinacja 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest tak samo prawdopodobna jak inne? Albo inaczej: jak mam to wytłumaczyć mojemu wujkowi?

Pierwsze podejście

Jeśli zastanowimy się chwilę, to przecież podałem wyżej tylko jedno prawdopodobieństwo (1 do 14 milionów). W takim razie nie zależy ono od tego, z jaką kombinacją liczb mamy do czynienia! O czym tu gadać? Matematycznie rzeczywiście nie ma o czym, ale jeśli ktoś matematyki nie lubi, potraktuje to tylko jak magiczne zaklęcia. Pewnie jeszcze chcemy go oszukać, a samemu regularnie wysyłamy kupony. Dlatego spróbujmy w możliwie najmniejszym stopniu odwoływać się do liczb.

Po pierwsze, założenie, że ciąg liczb po kolei musi być mniej prawdopodobny od ciągu nie po kolei wcale nie jest głupie. Co więcej, jest to prawda — o ile sformułuję to tak, jak wyżej. Kombinacji nie po kolei jest znacznie więcej, dlatego jeśli miałbym zgadywać, czy w Lotto zostaną wylosowane liczby po kolei, powiedziałbym, że nie. Co więcej, w historii polskiego Lotto taka sytuacja jeszcze nigdy się nie zdarzyła. Problem w tym, że musimy wskazać DOKŁADNĄ kombinację. Nie przyrównujemy ciągu 1-6 do dowolnie innego, ale trzeba go wybrać, na przykład 5, 11, 18, 31, 39, 42. Obie te kombinacje są tak samo prawdopodobne.

No dobrze, ale właściwie czemu są tak samo prawdopodobne, jak to wyjaśnić obrazowo? Załóżmy na chwilę, że nie jest to prawda. Że w jakiś sposób jeden z zestawów jest mniej prawdopodobny. Jak miałoby to działać? Piłki z liczbami w maszynie losowane są jedna po drugiej. Powiedzmy, że wylosowano już 1, 2, 3, 4, 5 (niekoniecznie w tej kolejności). W jaki sposób szansa wylosowania 6 miałaby być mniejsza od, dla przykładu, 42? Żeby tak było, piłki w maszynie musiałyby wiedzieć, co zostało już wylosowane! Także myśląc w ten sposób, przypisujemy im pewien rodzaj inteligencji (w rzeczywiście może być inny powód, wspomnę o nim pod koniec).

Drugie podejście

Takie wyjaśnienie wciąż mnie nie satysfakcjonowało, było jeszcze za mało obrazowe. Wyobraźmy sobie zatem, że zamiast liczb, na piłkach znajdują się obrazki właśnie: kot, pies, nietoperz, krowa i tym podobne. W takim razie teraz maszyna powinna zupełnie inaczej działać, preferować lub nie inne kombinacje. Może mało prawdopodobny powinien być zestaw ze zwierzętami domowymi albo parzystokopytnymi? Jeśli wylosowano już kota, to jaka jest szansa, że na kolejnej piłce będzie mysz?

Wydaje mi się, że ten przykład dobrze pokazuje niedorzeczność twierdzenia, że kombinacja 1-6 jest mniej prawdopodobna od jakiejkolwiek innej (ale konkretnej, ustalonej). To my, ludzie, nadajemy tym liczbom pewien sens, ale piłki o tym nie wiedzą.

Paradoks hazardzisty

Tak naprawdę problem, o którym piszę, można przedstawić na prostszym przykładzie rzutu monetą. Wiele osób wierzy, że jeśli na przykład 10 razy pod rząd wyrzucimy orła, to w końcu musi wypaść reszka. Ale skąd moneta ma wiedzieć, co wcześniej wypadło?

Na koniec warto jednak odnotować, że te wszystkie rozważania są prawdziwe, o ile maszyna losująca jest poprawnie skonstruowana. Skoro przed jej uruchomieniem piłki ustawione są w jakiejś konkretnej kolejności, to może rzeczywiście z powodów fizycznych pewne kombinacje są mniej prawdopodobne? Nie jest to wykluczone. Dlatego tego typu maszyny są wcześniej testowanie, czy wylosowane liczby są naprawdę losowe. Można też przeanalizować wszystkie dotychczas wylosowane kombinacje w poszukiwaniu wzorów. Nie słyszałem, by komuś się to udało. Natomiast nawet jeśli tak by było, źródłem byłaby usterka (może celowa) w maszynie, a nie w matematyce (https://youtu.be/rWfR3-XGQAc).

Poza tym trzeba pamiętać, że losowość wyników Lotto jest potrzebna jego organizatorowi. Tylko dzięki niej można tak ustalić cenę kuponu, żeby Totalizator Sportowy zarabiał. Także na pewno dba o to, żeby żadna z kombinacji nie była bardziej prawdopodobna.

Jeśli temat Cię zainteresował, więcej argumentów znajdziesz na https://czywartogracwlotto.pl.